今回は、本当に参りました
お客様用のテスト環境でWordPressを3.5.1にアップデートしたら
なんと、メディアを追加ボタンが効かなくなり
PHPのバージョンをアップしてもダメ
プラグインを停止し始めたのですが
いや待てよ、と思い、テーマを変更したら動くじゃないですか！？

しかし、このテーマは先方が気に入っているし
似たようなのを探しても見つからない

日本語の情報（ http://ja.forums.wordpress.org/topic/13003 ）ではこの問題を解決できず
英語で探してみて見つけたのが、このページ
「WordPress 3.5 add new media not working」
http://wordpress.org/support/topic/wordpress-35-add-new-media-not-working

この中でJoseVegaさんという人が

Hi, I had the same issue, and I solved it adding: define(‘CONCATENATE_SCRIPTS’, false ); in my wp-config.php file just before require_once(ABSPATH . ‘wp-settings.php’);

I hope it works for you.

超意訳：
同じ問題で悩んでたよ
wp-config.phpの中の require_once(ABSPATH . ‘wp-settings.php’);
の前に
define(‘CONCATENATE_SCRIPTS’, false );
を足してみて

という、記述があったので、試してみた所…でました！(*≧∇≦)ﾉﾉ☆
これでテーマも変える事無く、プラグインを停止する事も無く
お仕事続けられます、良かった良かった

ということで、同じように悩んでいる方の為に
ブログに残しておきます。
是非試して見て下さい。